misle.ru страница 1
скачать файл




РАЦИОНАЛЬНЫЙ КУБОИД
Постановка задачи: Найти целочисленное решение системы уравнений:
m2 + (2ab)2 = x2 (1)

m2 + (a2-b2)2 = y2 (2)

m2 + (a2+b2)2 = z2 (3)
Уравнение (1) запишем следующим образом:
(2ab)2 = x2(mx)2 (4)

Для решения уравнения (4) используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение (4) рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром (2ab) и переменными x и mx.

Здесь: mx – значения чисел m, взаимосвязанных с числом x, т.е. относящихся к уравнению (1).

Уравнение (4) в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

(2ab)2 = x2(mx)2= (x-mx)(x+mx) (4)

Используя метод замены переменных, обозначим:



x-mx = k (5)

При этом число k может быть равно:



k1= 2a; k2 = 2b (6)
Из уравнения (5) имеем:

mx = x +k (7)

Из уравнений (5), (6) и (7) имеем:



(2ab)2 =k∙ (x + k + x)= k∙(2x +k) = 2xk+k2 (8)

Из уравнения (8) имеем:



(2ab)2- k2=2xk (9)

Отсюда:


x = (10)

Из уравнений (9) и (12) имеем:



mx = (11)

Таким образом: x = (12)



mx (13)

Из уравнений (12 и (13), следует, что необходимым условием того чтобы числа x и mx были целыми, является делимость числа (2ab)2 на число k, т. е. число k должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа (2ab)2 .

Из уравнений (12) и (13) также следует, что числа 2ab и k должны иметь одинаковую четность.

По формулам (12) и 13) определяются числа x и mx как переменные, зависящие от значения числа 2ab, как параметра, и значения числа k. Числа x и mx , определенные по формулам (12) и (13), с числом 2ab образуют тройки пифагоровых чисел. Количество чисел x и mx, определяемых для принятого числа 2ab, зависит от количества входящих в него сомножителей и их сочетания в числе k.

Из изложенного следует общий вывод:

1. Квадрат простого числа равен разности квадратов одной пары натуральных чисел (при k=1).

2. Квадрат составного числа равен разности квадратов нескольких пар натуральных чисел .

3. Все числа N> 2 являются пифагоровыми.

Следовательно, существует одна или несколько пар натуральных чисел, которые с числом, взятым за параметр, образуют тройки пифагоровых чисел.

В соответствии с вышеизложенным и с учетом уравнений (6) и (13) запишем:



mx1 == a(b2-1) (14)

mx2== b(a2 -1) (15)

Запишем уравнение (2) следующим образом:



(a2b2)2 = y2 – (my)2 =(y-my)(y+my) (16)

a2b2 = (a-b)(a+b)

(a2 – b2)2= (a-b)2 ∙ (a+b)2
Принимаем: m1=(y-my)= (a-b); m2=(y+my)= (a+b)

По аналогии с уравнениями (12) и (13) запишем:


my1= (17)

my2= (18)

Чтобы числа my1 и my2 были целыми, числа a и b должны иметь одинаковую четность.

Чтобы уравнения (1) и (2) имели решения в целых числах, должно выполняться одно из равенств:

mx1= my1; mx1= my2; mx2= my1; mx2= my2 (19)

Для примера рассмотрим возможность существования равенства:



mx1 my1 (20)

где знак - означает меньше, больше или равно.



a(b2-1) (21)

2ab2-2a  (a-b)(a2+2ab+b2-1)=

=a3+2a2b+ab2-a-a2b-2ab2-b3+b= a3+a2b-ab2-b3-a+b

Отсюда:


a3-b32ab2-2a-a2b+ab2+a-b = 3ab2-a2b-a-b =

a(3b2 –ab -1)-b

То есть: a3-b3 a(3b2 –ab -1)-b (22)

Поскольку алгебраическое выражение:

a(3b2 –ab -1)-b

не преобразуется в алгебраическое выражение: a3-b3,

то: a3-b3≠ a(3b2 –ab -1)-b (23)

Следовательно: mx1 ≠ my1

Рассмотрение других вариантов возможных равенств (19) дает те же результаты, поэтому их рассмотрение здесь не приводится.

Следовательно, система уравнений [1…3] не имеет решения в целых числах, т. е. рациональный кубоид не существует.



ПРИМЕЧАНИЕ: На этом сайте размещено «Агебраическое решение уравнения теоремы Пифагора», из анализа которого следует, что в кубоиде целочисленные значения могут иметь ребра и две диагонали на гранях или ребра и две диагонали: одна на грани, а другая – главная диагональ.
Автор Козий Николай Михайлович,

инженер-механик



E-mail: nik_krm@mail.ru
скачать файл



Смотрите также: