misle.ru страница 1
скачать файл
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИЙ

проф. Е.П. Долженко

2 года, 3-5 курс, аспиранты

Часть 1. Неизолированные особые точки функций.

1.1. Неизолированные особые точки однозначных аналитических функций. Длина по Хаусдорфу. Теорема Пенлеве об устранимых множествах особых точек ограниченных аналитических функций.

1.2. Меры Хаусдорфа.

1.3. Теорема Пенлеве об устранимых множествах особых точек аналитических функций, непрерывных в своих особых точках (без доказательства). Усиление теоремы Пенлеве, учитывающее модуль непрерывности рассматриваемой функции. Метрическая характеристика множеств, устранимых для аналитических функций классов Липшица-Гельдера.

1.4. Аналитическая емкость и устранимые особые множества. Теорема А. Данжуа об аналитической емкости компакта на прямой (без доказательства) и ее уточнение: аналитическая емкость компакта на прямой равна четверти его длины (X. Поммеренке).

1.5. Примеры А.Г. Витушкина и Дж. Гарнета множеств положительной длины, устранимых для ограниченных аналитических функций.

1.6. Трансфинитный диаметр и постоянная Чебышева. Гармоническая емкость множества, условие его устранимости для ограниченных гармонических функций.

1.7. Метрическая характеризация устранимых множеств особых точек для гармонических функций в мерных областях в случае: (а) гельдеровости их первых частных производных, (б) гельдеровости самих решений (без доказательства).

1.8. Неизолированные особые точки решений линейных дифференциальных уравне­ний с частными производными. Лемма Харви и Полкинга о разложении единицы. Достаточные условия устранимости особых множеств для решений, имеющих гельдеровские частные производные.

1.9. Условия устранимости особых множеств для решений эллиптических и гипо­эл­лип­тических уравнений в терминах скорости локальных аппроксимаций рассматриваемого решения в его особых точках посредством неособых решений этого уравнения (Б.Ж. Ищанов, А.В. Покровский).



Часть 2. Граничные свойства гармонических и

аналитических функций (классическая теория).

2.1. Гармонические функции. Интеграл Пуассона для функций, гармонических на замкнутом круге.

2.2. Интеграл Пуассона от непрерывной граничной функции, его гармоничность внутри круга и непрерывность на замкнутом круге. Задача Дирихле для круга.

2.3. Интеграл Пуассона от суммируемой граничной функции, его непрерывность в точках непрерывности граничной функции.

2.4. Существование некасательного предела трансверсальной производной интеграла Пуассона в точке дифференцируемости его граничной функции.

2.5. Интеграл Пуассона-Стильтьеса, существование его некасательных гра­ничных пределов. Существование некасательных граничных пределов у интеграла Пуассона-Лебега в точках дифференцируемости неопределенного интеграла его граничной функции.

2.6. Классы гармонических функций. Класс и интегралы Пуассона-Стильтьеса. Теорема Плеснера.

2.7. Угловые граничные пределы функций из при . Представимость функции класса при интегралом Пуассона от функции из .

2.8. Классы аналитических функций, их связь с классами .

2.9. Формулы Пуассона-Йенсена и Шварца-Йенсена.

2.10. Условие на расположение нулей функции , аналитической в единичном круге, необходимое и достаточное для ограниченности интеграла при .

2.11. Необходимое и достаточное условие сходимости для произведения Бляшке по заданной последовательности нулей.

2.12. Класс Неванлинны аналитических функций, эквивалентность его классу функций ограниченного вида. Связь с классами ().

2.13. Граничные свойства функций класса Неванлинны (существование угловых граничных пределов, граничная теорема единственности).

2.14. Теорема Ф. Рисса о поведении интегральных средних (по на ) для функций из классов ().

2.15. Теорема Г.М. Фихтенгольца для функций класса .

2.16. Теорема Ф. и М. Риссов о функциях, аналитических в круге, непрерывных вплоть до его границы и абсолютно непрерывных на границе.

2.17. Теорема Харди и Литтлвуда о функциях, аналитических в круге, непрерывных вплоть до его границы , удовлетворяющих условию Липшица-Гельдера на .

Теорема Тамразова о связи модуля непрерывности функции, аналитической в обла­сти и непрерывной на ее замыкании, с модулем непрерывности ее граничной функ­ции (без доказательства).

2.18. Компактные семейства аналитических функций, критерий Монтеля.

2.19. Теоремы Линделефа о криволинейном и угловом граничных пределах огра­ниченных аналитических функций.

Часть 3. Конформные отображения односвязных областей.

3.1. Теорема Римана о конформных отображениях односвязных областей на круг. Дробно-линейность конформных отображений кругов расширенной комплексной плоскости друг на друга.

3.2. Теорема Каратеодори о непрерывной продолжимости конформного отображе­ния жордановых областей друг на друга до гомеоморфизма их замыканий.

3.3. Простые концы, их классификация.

3.4. Внутренняя метрика в односвязной области (метрика М.А. Лаврентьева). Неравенства М.А. Лаврентьева для конформного отображения единичного круга на ограниченную односвязную область и для обратного к нему отображения (без доказательства). Квазиконформные и лаврентьевские кривые.

3.5. Модуль колебания жордановой кривой. Неравенства для модулей непрерыв­ности конформных отображений произвольной ограниченной односвязной жордано­вой области на круг, круга на такую область, таких областей друг на друга.

3.6. Теорема Линделефа о непрерывности аргумента производной конформного отображения единичного круга на область с гладкой жордановой границей.

3.7. Теорема В.И. Смирнова о функции, аналитической в единичном круге, вещественная часть которой непрерывна вплоть до его границы.

3.8. Обобщенная теорема И.И. Привалова об оценке модуля непрерывности функ­ции, аналитической в единичном круге, через модуль непрерывности ее действи­тельной части.

3.9. Теорема Варшавского о граничной гладкости конформного отображения круга на ограниченную область с гладкой жордановой границей.

3.10. Теорема Келлога о степени гладкости конформного отображения единич­ного круга на область с раз гладкой жордановой границей (.

Часть 4. Граничные свойства произвольных функций.

Пористые множества. Типичные функции.

4.1. Граничные теоремы единственности Лузина-Привалова. "Звездчатые области" Лузина-Привалова.

4.2. Понятие предельного множества. Теорема Плеснера об угловых предельных множествах мероморфной функции. Точки Фату и Плеснера. Использование произве­дений Бляшке для построения примеров.

4.3. Пористые и сигма-пористые множества в метрических пространствах, их бэровская категория и мера Лебега в конечномерных пространствах.

4.4. GV-особые граничные множества для функций и отображений,

4.5. VV-особые граничные множества для функций и отображений.

4.6. Криволинейные предельные граничные множества. Теорема Багемила-Зейделя о граничных точках неопределенности функции.

4.7. Радиальные предельные множества для ограниченных аналитических функ­ций. Проблема Фату-Лузина и теорема С.В. Колесникова.

4.8. Теорема С. Банаха об остаточности множества нигде не дифференцируемых функций в пространстве непрерывных функций (без доказательства). Сигма-порис­тость множества нетипичных функций.

4.9. Типичные функции в банаховом пространстве ограниченных аналити­ческих функций в единичном круге .



4.10. Типичные функции в метрическом пространстве всех функций, ана­литических в круге .

4.11. Теорема Ю.А. Шевченко о типичных компактах в евклидовых пространствах.
скачать файл


Смотрите также: