misle.ru страница 1
скачать файл


Интегро – дифференциальное уравнение Эйлера – Пуассона
В этой теме будут рассмотрены некоторые из затронутых выше вариационных задач более сложного типа. При исследовании этих задач мы, как правило, ограничимся знакомством с простейшими условиями. В ходе изложения мы опустим замечания, аналогичные тем, которые были сделаны в связи с простейшей вариационной задачей. Отметим, что между необходимыми и достаточными условиями для простейших задач и для тех, которые будут изложены, имеется большое сходство, о котором уже упоминалось, однако в некоторых вопросах имеются и существенные различия. Часть этих вопросов будет разобрана в задачах, относительно остальных ограничимся указанием литературы.
1. Вариационные задачи более высокого порядка.
1.1. Формулировка проблемы. Лемма Дюбуа—Реймона

Пусть:


а) n- данное натуральное;

б) Q Rn+2 – данная область [точки Q обозначим через (x, y, y,…, y(n))], T= pr12...(n+1)Q;

в) F Є (R2n+2R1) ∩ D1 (Q)– данная функция;

г) P1=(x1, y1, y1, ... y1(n-1)), P2=(x2, y2, y2’, …, y2(n-1)) – две произвольные фиксированные точки Т, для которых х12.

Определим функционал v[y] следующим образом:
10. Функцию y Є R1R1 назовем допустимой функцией (обозначение: y Є D1), если:
i) y Є Dn ­(x1, x2],
ii) y(i) (x1)= y1, y(i) (x2)= y’2 (i=0,…, n–1),
iii) (x, y (x), y’ (x),…, y(n)(x)) Є Q (x Є [x1, x2]).
20. Предполагая, что D1 не пусто, каждой функции y Є D1 поставим в соответствие действительное число

(1) v [y] (x, y(x), y(x),…, y(n)(x)) dx.



Замечание 1. Если n=1, то v[y] совпадает с функционалом, рассмотренным ранее, поэтому дальнейшие результаты будут новыми только в случае n 2.

2. В дальнейшем, если речь идет о вариационной задаче высокого порядка, всегда подразумевается некоторый функционал, относящийся к только что определенному типу в случае n 2.



Лемма. ( лемма Дюбуа–Реймона). Пусть n Є N, m Є (R1 R1)∩ D [x1, x2]. Предположим, что равенство

(2)  (x) ŋ(n) (x) dx=0

выполняется для любой функции ŋ, удовлетворяющей условиям

(3) ŋ Є (R1→R1)∩ Dn [x1, x2]; ŋ(i) (x1)=ŋ(i) (x2)=0



(i=0,…, n–1).

Тогда существует такой многочлен pn-1 Є R1R1 порядка не выше (n–1), что в любой точке множества D m выполняется равенство m(x)=pn-1 (x).



Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого многочлена pn–1 (x) с произвольными коэффициентами ci Є R1(i=0,…, n–1) из равенства (2) и условии (3) последовательным интегрированным по частям получаем равенство

(4) (x)—(c0+c1x+…+cn–1xn–1)} ŋ(n)(x)dx=(x)—pn–1(x)} ŋ(n)(x)dx=0.

Пусть теперь p2n-1 Є R1→R1 — такой многочлен порядка не выше (2n–1), который удовлетворяет условиям

(5)  (x1)=0,  (x2)=(t0)dt0dt1 … dtn–i–1, (i=0,1,…, n—1).

Из известной интерполяционной теоремы Эрмита следует, что существует (ровно один) такой многочлен.

Рассмотрим теперь функцию Є R1R1, определённую в интервале [x1, x2] следующим образом:



Из этого определения и из (5) следует, что ƞ удовлетворяет условиям (3).

Обозначим n производную многочлена p2n-1 символом p-n-1. Тогда непосредственно из определения ƞ- следует, что в каждой точке x ϵ Dm выполняется равенство

(6) (x)=m(x) — p-n-1(x).

Если положить в (4) pn-1 = p-n-1 и ƞ=ƞ- , то с учетом (6) равенство (4) можно преобразовать так:

m(x) — p-n-1(x)]2dx=0.

В этом равенстве подынтегральная функция неотрицательна и принадлежит D[ x1, x2 ] , поэтому в любой точке x ϵ Dm она обращается в нуль , т.е. выполняется равенство m(x) = p-n-1(x). Лемма 1 доказана.


1.2. Интегро – дифференциальное уравнение Эйлера – Пуассона

Определение 1. Будем говорить , что функционал v[y] на функции y0 ϵ D1 достигает слабого [сильного] локального минимума (другими словами: у0 доставляет слабый [сильный] локальный минимум функционалу v[y] ) , если у функции y0 существует такая окрестность первого порядка [окрестность К(y0) нулевого порядка], что для любой функции выполняется неравенство

Определение 2. Пусть данные функции, а данный многочлен. Будем говорить, что функция есть решение интегро-дифференциального уравнения (и-д. у.)

(7)

Если:



для любого значения

И-д. у. (7) часто записывают в сокращенной форме, предварительно введя для любой функции обозначение

Тогда, считая, что и-д. у. (7) можно записать так:





Теорема. Если функционал v[y] на функции достигает слабого локального минимума и если , то существует такой многочлен порядка не выше , что удовлетворяет и-д. у.

(8)

называемому интегро-дифференциальным уравнением Эйлера-Пуассона (в дальнейшем и-д. у. Э-П).

Доказательство. Обозначим через такую окрестность функции первого порядка, в которой

(9)

Фиксируем произвольную функцию, удовлетворяющую условуем произвольную функцию, удолетворяющую иям (3), и рассмотрим однопа­ра­метрическое семейство функции . Из открытости и из (3) следует, что если фиксировано и достаточно мало, т.е. принадлежит достаточно малой окрестности нуля , то

Из этого включения и из неравенства (9) очевидно, что функция , определенная равенством , в точке достигает локального минимума. Так как дифференцируема в точке и дифференцирование можно произвести под знаком интеграла, то

(10)

Проинтегрируем слагаемое с номером в подинтегральном выражении раз по частям. Тогда, введя обозначение



и использовав условия (3), получим





Обозначим через функцию, заключенную в фигурные скобки, и заметим, что . Тогда, применив к функции лемму , получим тождество

(11)

,

где - многочлен порядка не выше . А это означает, что означарядка не выше урные скобки, и заметим, что о удовлетворяет д.у. Э-П. (8). Теорема 1 доказана.

Решения и-д. у. (8) называют стационарными функциями функционала (или стационарными функциями, соответствующими основной функции )

Из многочисленных следствий и-д. Э-П. (8), сформулируем и докажем только то, которое говорит о возможности замены и-д. у. (8) обыкновенным дифференциальным уравнением.



Утверждение. Если и если - стационарная функция функционала , непрерывно дифференцируемая раз, то удовлетворяет дифферен­циаль­но­му уравнению

(12) ,

называемому д.у. Эйлера-Пуассона (в дальнейшем д.у. Э-П).

Замечание 2. Левую часть (12) в соответствии с установившейся традицией понимают следующим образом.

Фиксируем произвольную раз непрерывно дифференцируемую функцию и дого­воримся считать, что аргументы функции и ее частных производных имеют соответственно вид , т.е. функция и ее частные производные являются сложными функциями . Произведя формально дифференцирование в левой части (12), получим выражение, содержащее . Приравнивая это выражение к нулю, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение порядка для определения неизвестной функции .



Доказательство. Если и удовлетворяет и-д. Э-П. (8), то каждое в сумме, расположенной в левой части (11), является функцией из . Дифференцируя обе части равенства (11) раз, получаем тождество

которое и означает, что есть решение д.у. (12). Утверждение доказано.



Пример. Пусть , а - функционал, определенный данными [ - положительные постоянные], [ - положительная константа], Найдем стационарные функции.

И-д. у. Э-П. (8) имеет следующий вид:

(13)

Отсюда следует, что уравнение (13) эквивалентно д.у. второго порядка (зависящему от параметров )



.

Запишем общее решение этого уравнения:



В результате простых вычислений получаем, что имеется ровно одна удовлетворяющая данным граничным условиям стационарная функция





Замечание 3. К исследованию минимума рассмотренного функционала приводит задача о нахождении положения равновесия закрепленного с двух сторон упругого стержня цилиндрической формы.

Согласно принципу Гамильтона, относящемуся к упругим телам, в положении равновесия полная потенциальная энергия рассматриваемого стержня минимальна. Если - уравнение осевой линии стержня



то полная потенциальная энергия стержня равна



Первый интеграл есть потенциальная энергия, определяемая упругими силами; второй – потенциальная энергия, созданная полем силы тяжести; - постоянная, зависящая лишь от коэффициента упругости и момента инерции поперечного сечения; - линейная плотность стержня.

Если вместо полной потенциальной энергии взять ее приближенное значение, полученное обычным пренебрежением величиной , то для полной потенциальной энергии получим представление



1.3. Задачи.

1. Докажите следующий вариант леммы 1. Пусть функции ограничены и интегрируемы по Лебегу на . Предложим, что равенство



выполняется для любой ограниченной и интегрируемой по Лебегу на функции , удовлетворяющей условиям



Тогда существуют такие постоянные , что почти всюду на выполняется равенство



2. Пусть , а - произвольная фиксированная функция. Определим функционал следующим образом: тогда и только тогда, когда ; если , то положим Докажите, что на функции [т.е. на функции, которая в любой точке равна нулю] дифференцируема по Фреше и



3. Предположим, что , и пусть функция доставляет слабый локальный минимум функционалу . Докажите, что в любой точке множества выполняется неравенство



условие Лежандра)



Указание. Найдите вторую вариацию , при доказательстве воспользуйтесь методом от противного.

4. Докажите, что если - стационарная функция регулярного функционала , то



Замечание 4. Говорят, что функционал - регулярный, если и выполняется неравенство



Указание. Докажите вначале, что выполняется условие Вейерштрасса-Эрдмана для точки излома и что справедлива теорема Гильберта о дифференцируемости.

5. Обобщите условие Якоби и докажите теорему, соответствующую теореме случае вариационной задачи высокого порядка,

6. Исследуйте то расширение функционала в примере п. 2, которое получается отбрасыванием граничного условия

7. Найдите стационарные функции из функционала определенного данными





Замечание 5. К исследованию данного функционала приводит следующая задача. Пусть даны направленные прямые и , проходящие соответственно через точки и , Требуется среди плоских кривых, соединяющих точки и , и имеющих в этих точках нормали, направленные вдоль и , найти ту, для которой площадь фугуры, образованной данной кривой, ее эволютой и отрезками данных прямых, минимальна.

Исследуйте и тот случай, когда направление нормали в концевых точках не указано.


Л И Т Е Р А Т У Р А

1. А.Коша. Вариационное исчисление. Москва, «Высшая школа». 1983.



2. В.М. Алексеев, Э. М. Галлиев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. М. «Наука» 1984 г.


скачать файл



Смотрите также: