misle.ru страница 1
скачать файл
Отчет по лабораторной работе №7:

«Параметрические колебания при плавной модуляции

параметра линейного осциллятора»


Выполнил: Решетников Евгений, 1539

Дата выполнения работы: 16.05.2004

Дата предоставления отчета: 19.05.2004

Санкт-Петербург, 2004

Цели работы:


  • Познакомиться с физическими принципами параметрического возбуждения колебаний на наглядном примере механического торсионного линейного осциллятора, момент инерции которого принудительно изменяется по плавному периодическому (синусоидальному) закону;

  • Получить представление об общих закономерностях параметрических колебаний и параметрическом резонансе в линейных системах;

  • Исследовать экспериментально и теоретически условия возбуждения и особенности параметрического резонанса при плавной модуляции параметра (момента инерции) осциллятора.

  • Рассчитать и проверить экспериментально порог возбуждения и интервалы параметрической неустойчивости для основного параметрического резонанса и резонанса второго порядка.


Теоретическое введение

В данной работе используется следующая модель механической системы: маховик в виде уравновешенного стержня с двумя одинаковыми грузами может поворачиваться вокруг оси, проходящей через его середину. При повороте стержня спиральная пружина создает пропорциональный углу отклонения восстанавливающий момент.

В данной модели системы радиальное движение грузов вдоль стержня предполагается в точности синусоидальным, расстояние от оси вращения изменяется по закону:

(1)

где - среднее расстояние грузов от оси вращения, а - безразмерная амплитуда их гармонического движения вдоль стержня . Из (1) следует, что грузы относительно стержня двигаются со скоростью:



(2)

Ускорение грузов в их движении относительно стержня равно:



(3)

Элементарная работа, совершаемая силой (приложенной к грузу), вычисляется по формуле:



(4)

Наиболее благоприятные условия для параметрического возбуждения колебаний складываются, когда частота синусоидального движения грузов вдвое больше частоты собственных колебаний (Здесь - частота колебаний ротора при условии, что грузы закреплены на среднем значении расстояния от оси вращения).



рис. 1. График угла отклонения и угловой скорости ротора при (основном параметрическом резонансе).

Кроме соотношения частот, также для параметрического возбуждения осциллятора необходимы определенные фазовые соотношения между колебаниями ротора и движениями грузов. То есть, грузы должны двигаться в направлении оси вращения с максимальной скоростью в те моменты, когда максимальна величина угловой скорости ротора.

При данных условиях получим следующие зависимости от времени:



; . (5)

Учитывая полученные соотношения и выражение (4) получим формулу для вычисления работы силы , совершаемой за период :



(6)

Такая же работа совершается силой при перемещении второго груза. Таким образом, увеличение энергии осциллятора происходит на величину:



(7)

Полная энергия осциллятора равна:



(8)

тогда:


(9)

Последнее уравнение означает, что при параметрическом резонансе полная энергия колебаний , усредненная за период , растет экспоненциально со временем:



, где (10)

При присутствии трения рассеяние механической энергии также описывается экспоненциальной функцией:



(11)

При заданных постоянной затуханияи добротности для возможности параметрического возбуждения колебаний, имеем:



(12)

Дифференциальное уравнение изменения момента инерции:



(13)

В правой части последнего уравнения добавлен момент силы вязкого трения, пропорциональный угловой скорости ротора.



При малых , приближенное уравнение выглядит следующим образом:

(14)

Ответы на вопросы для самоконтроля



1. Моделируемая система состоит из ротора (стержень с двумя одинаковыми грузами), и пружины (создает восстанавливающий момент, когда поворачивается ротор). Используемая модель пружинного осциллятора характеризуется моментом инерции маховика (при нахождении грузов в среднем положении) и модулем кручения пружины . Отношение определяет средний квадрат частоты собственных колебаний. Механическое состояние осциллятора характеризуется тремя переменными: углом отклонения ротора от среднего положения, угловой скоростью ротора, а также мгновенным значением расстояния грузов от оси.
2. Единственный параметр, который подвергается периодической модуляции это – момент инерции ротора. Плавная модуляция параметра реализуется плавными перемещениями грузов вдоль стержня ротора, которые изменяют только момент инерции ротора. Синусоидальное движение грузов вдоль стержня будут вызывать синусоидальное изменение момента инерции ротора, когда глубина модуляции будет невелико. Т.к. момент инерции пропорционален квадрату расстояния грузов от оси вращения.
3. Параметрические колебания поддерживаются благодаря принудительному периодическому изменению некоторого параметра системы.
4. Движение грузов ротора к оси вращения уменьшает его момент инерции, следовательно, угловая скорость увеличивается, при этом возрастание угловой скорости больше, если ротор вращается быстрее. Движение грузов ротора от оси вращения замедляет его вращение. Поэтому для раскачки маятника необходимо, чтобы получаемая энергия в среднем превосходила бы отдаваемую. Так будет, если движение грузов в сторону оси ротора происходит в среднем при большей угловой скорости ротора, нежели обратное движение к концам стержня.
5. Рассмотрим колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности, конденсатора и резистора. Изменяя емкость конденсатора (если конденсатор плоский, то этого можно добиться, изменяя расстояние между пластинами) или индуктивность катушки (этого можно добиться, выдвигая из катушки сердечник). Индуктивность катушки эквивалентна моменту инерции. Энергия магнитного поля эквивалентна кинетической энергии ротора.
6. Параметрический резонанс наступает при других соотношениях частоты и собственной частоты, нежели обычный резонанс. Возбуждение параметрического резонанса возможно лишь тогда, когда осциллятор уже совершает (небольшие) собственные колебания: в отличие от прямого силового воздействия, никакая модуляция параметра не в состоянии раскачать осциллятор, находящийся в состоянии покоя в положении равновесия.
7. Потери энергии из-за трения пропорциональны энергии, уже запасенной системой. Эти потери ограничивают рост амплитуды при обычном резонансе, потому что с увеличением запасенной энергии эти потери растут быстрее, чем вложения энергии за счет работы внешней силы, раскачивающей систему. В случае параметрического резонанса как вложения энергии за счет модуляции параметра, так и потери энергии из-за трения пропорциональны запасенной энергии, так что их отношение не зависит от амплитуды. Параметрический резонанс возможен лишь тогда, когда вложение энергии за период, вызванное модуляцией параметра, превосходит энергию, рассеиваемую из-за трения за то же время.
8. Скорость изменения момента импульса ротора с грузами равна моменту сил, действующих на эти грузы. Так как расстояние от грузов до оси вращения изменяется по закону: , то момент инерции ротора изменяется со временем: . Момент силы упругости спиральной пружины пропорционален углу отклонения, а тормозящий момент силы вязкого трения пропорционален угловой скорости ротора. Получаем:.

В отличие от уравнения, описывающего вынужденные колебания, дифференциальное уравнение параметрических колебаний торсионного осциллятора однородно. Отличие от уравнения собственных колебаний состоит в том, что стоящий при коэффициент явно зависит от времени.


9. Работой внешней силы в случае параметрического возбуждения системы является работа, совершаемая для перемещения грузов ротора. Поэтому приращение энергии системы равняется работе этой силы. Получаем, что приращение энергии за один цикл синусоидальной модуляции равно .

Параметрический резонанс возникает уже тогда, когда потери энергии из-за трения не превышают приращение энергии. Получаем:


10. Стационарный характер колебаний в условиях порога оказывается возможным благодаря тому, что потери энергии из-за трения в среднем компенсируются поступлением энергии от источника, который приводит в движение грузы вдоль стержня, обеспечивая периодическую модуляцию момента инерции ротора. Сопоставляя график угловой скорости с приведенным там же графиком движения грузов, можно заметить, что в условиях настройки на основной параметрический резонанс движение грузов в сторону оси ротора происходит в среднем при большей угловой скорости ротора, нежели обратное движение к концам стержня. Именно такие фазовые соотношения благоприятны для «подпитки» осциллятора энергией за счет модуляции момента инерции и компенсации потерь энергии из-за трения.
11. При теоретическом расчете границ интервалов параметрической неустойчивости можно исходить из условия, того что на этих границах при определенных начальных условиях колебания могут происходит с неизменными значениями амплитуды и фазы, в то время как внутри интервалов параметрической неустойчивости амплитуда колебаний неограниченно возрастает со временем.
12. Отклонение формы графиков стационарных колебаний от синусоидальной кривой вызвано вкладом высших гармоник. Отношение амплитуды третьей гармоники к амплитуде фундаментальной гармоники одно и то же для колебаний на обеих границах (при одинаковой глубине модуляции). Различие в форме колебаний на правой и левой границах объясняется разницей в сдвиге фаз третьей гармоники по отношению к основной в этих случаях.
13. При ширина основного интервала параметрической неустойчивости пропорциональна первой степени глубины модуляции . Поправка второго порядка по в выражении для ширины интервала отсутствует, поскольку член второго порядка по одинаков для обеих границ интервала. Он не сказывается на ширине интервала, а лишь сдвигает весь интервал на величину, пропорциональную .
14. При наличии трения интервалы параметрического резонанса сужаются. Условия для порога второго параметрического резонанса: . То есть . Для основного резонанса это происходит, когда .
Решение задач

Главный резонанс:


Система описывается дифференциальным уравнением:

будем решать его приближенно, оставляя лишь члены первой степени от малых параметров , и , где , введем также обозначение . Тогда уравнение преобразуется в уравнение: (1)

Будем искать решение в виде , считая при этом и малыми параметрами первого, а и соответственно второго порядка. Тогда имеем , подставляя в уравнение (1) и учитывая, что и и что мы опускаем высшие гармоники, имеем:

Опуская малые высших порядков имеем:



Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе, имеем систему однородных дифференциальных уравнений первого порядка:



(2)

Здесь использовалось, что .

Ищем решение в виде , где . Подставляя в (2) и сокращая на экспоненту, имеем систему характеристических уравнений:

Выражаем из первого и подставляем во второе. Имеем, после приведения к общему знаменателю и сокращения на :




Решая его, находим (опуская члены более, чем первого порядка вне корня и более чем второго под корнем):

Раскладывая знаменатель в ряд Тейлора и опуская произведения корня и на , которые будут малыми второго порядка, имеем:





1.1) В случае точной настройки в главный резонанс и отсутствии трения имеем ; , таким образом система (2) упрощается и переменные p и q разделяются. Имеем:

Отсюда , , где и - постоянные, определяемые из начальных условий. Тем самым в первом приближении движение осциллятора описывается следующим уравнением:



(3)

  1. Из уравнения (3) видно, что амплитуда растет экспоненциально, второе слагаемое при некоторых начальных условиях (см 1.1 b) исчезает и имеем . Скорость роста амплитуды: линейно зависит от .

  2. Для того, чтобы амплитуда росла необходимо, чтобы не выполнялись условия пункта 1.2 b). Для того же, чтобы амплитуда по наиболее простому закону, желательно, чтобы второе слагаемое в формуле (3) обратилось в 0. Выразим и через начальные условия:

Подставляя , имеем



;

При малом начальном угле пренебрегая малой второго порядка имеем . Отсюда быстрый рост амплитуды с самого начала достигается при начальных условиях ; .



  1. , откуда . Подставляя ; , имеем , т.е. амплитуда увеличится в 5 раз за приблизительно 5 колебаний.

  2. Никакой разницы, кроме того, что все графики зеркально отразятся относительно оси времени, не будет.



1.2)

  1. Имеем , откуда . Экспериментально за это время амплитуда достигает значения .

  2. Амплитуда равна , данная функция имеем единственный минимум, что несложно показать, рассмотрев , приравнивая к , имеем: ; . Для того, чтобы амплитуда уменьшилась на первом колебании необходимо, чтобы . Имеем:

;

Рассмотрим случай :



.

Отсюда: .



До момента амплитуда уменьшается, а затем начинает расти.
скачать файл


Смотрите также: