misle.ru страница 1
скачать файл
Программа обязательного курса «Вариационное исчисление и оптимальное управление» 4 курс 1 поток (лектор А.В.Фурсиков, декабрь 2012г.)


  1. Простейшая задача классического вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Лемма Дюбуа-Реймона.

  2. Задача о брахистохроне: формализация и решение.

  3. Задача Больца (векторный случай). Условия трансверсальности.

  4. Лемма о структуре функционала на прямом произведении пространств.

  5. Теорема о фактор-пространстве банахова пространства.

  6. Теорема Банаха об обратном операторе (формулировка). Теорема о правом обратном операторе.

  7. 2-я теорема отделимости (формулировка). Теорема о нетривиальности аннулятора.

  8. Лемма о замкнутости образа.

  9. Теорема об аннуляторе ядра.

  10. Производные по Гато, Фреше и строгая дифференцируемость. Соотношения между ними. Теорема о суперпозиции (формулировка).

  11. Теорема о среднем. Следствие о непрерывной дифференцируемости.

  12. Оператор Немыцкого и его дифференцируемость.

  13. Теорема Люстерника.

  14. Теорема о касательном пространстве.

  15. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенства.

  16. Выпуклые множества и функции: определения и простейшие свойства. Конечномерная теорема отделимости (формулировка).

  17. Выпуклые экстремальные задачи. Теорема Куна-Таккера.

  18. Принцип Лагранжа для гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенства.

  19. Задача Лагранжа: основные определения. Формальный вывод необходимых условий экстремума для задачи Лагранжа с помощью принципа Лагранжа.

  20. Строгий вывод необходимых условий экстремума для задачи Лагранжа с помощью принципа Лагранжа.

  21. Задача оптимального управления: основные определения. Формальный вывод принципа максимума из принципа Лагранжа.

  22. Доказательство принципа максимума для задачи оптимального управления со свободным концом.

  23. Полунепрерывность снизу: эквивалентность трех определений.

  24. Принцип компактности Вейерштрасса-Лебега о существовании точки минимума.

  25. Общая теорема о существовании точки минимума.

  26. Теорема Мазура. Следствия: 1) Выпуклое и замкнутое множество секвенциально слабо замкнуто. 2) Выпуклая и полунепрерывная снизу функция полунепрерывна снизу относительно слабой сходимости.




  1. Гармонический осциллятор – пример некоэрцитивной вариационной задачи, у которой не существует решение.

  2. Пространства Соболева функций многих переменных: определение, доказательство полноты.

  3. Теорема о плотных множествах пространств Соболева (формулировка). Метод замыкания на примере доказательства теоремы о сужении функций из пространства Соболева на границу области.

  4. Теорема о рефлексивности пространств Соболева.

  5. Многомерная вариационная задача: условие роста и проверка коэрцитивности и ограниченности снизу.

  6. Квазирегулярные вариационные задачи, и проверка полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости соответствующих функционалов.

  7. Теорема Тоннели о существовании решения вариационной задачи.

  8. Строгий вывод уравнения Эйлера в случае вариационной задачи для брахистохроны.

Литература

А) В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин. Оптимальное управление. Наука 1979.

Б) В.М.Алексеев, Э.М.Галеев, В.М.Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. Наука 1984.



В) Э.М.Галеев, М.И.Зеликин, и др. Оптимальное управление.-М.:МЦНМО, 2008.
http://mech.math.msu.su/~fursikov/lect.php
скачать файл



Смотрите также: