misle.ru страница 1
скачать файл
«Утверждаю»

Декан факультета ПМ и К

А.В.Язенин


«____»____________ 2009 г.
ПРОГРАММА

вступительного экзамена в магистратуру по направлению

010500.68 «Прикладная математика и информатика»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

1. Определение абсолютного линейного п-мерного пространства, подпространства, их базисы.

Арифметическое вещественное п-мерное линейное пространство, подпространство их базисы. Линейные оболочки, их базисы (размерность).

Изоморфизм п-мерных линейных пространств.

Связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах линейного пространства (подпространства).

Задачи: 1277 -1281.

2. Линейные преобразования. Ядро и образ линейного преобразования. Сопряженные, самосопряженные, ортогональные преобразования, операторы.

Матрица линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому.

Задачи 1452 а), б), 1454 - 1446.

3. Сумма, пересечение линейных подпространств (оболочек) их базисы (размерности).



Задачи 1320 - 1322.

4. Пространство решений линейной однородной системы уравнений.



Задачи 1312, 1313.

5. Совместность (несовместность) линейной неоднородной системы уравнений, ее решение в аффинном арифметическом вещественном пространстве.



Задачи 689 - 703.

6. Евклидово и метрическое вещественное пространства. Ортогональное дополнение линейных подпространств. Ортогональная составляющая и проекция вектора на подпространство.



Задачи: 1366, 1367, 1370 - 1374, 1377.

7. Квадратичные формы, их матрицы. Приведение кв. форм к каноническому виду.



Задачи: 1175 -1178.

8. Приведение квадратичных форм к каноническому виду, ортогональным преобразованиям.



Задачи: 1248 -1262.

Номера задач см. Проскуряков И.В. Сб. задач по линейной алгебре. М., Наука, 1978 г. -384 с.


Литература:

1.Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.В. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов по спец. "Физика" и "Прикладная математика" - М.: ВШ, 1985 - 120с.

2.Кострыкин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


1. Дифференциальные уравнения первого порядка .

Решение. Применение к решению геометрических задач.

2. Линейные уравнения и системы п-го порядка. Нахождение ФСР, общего решения, решения задачи Коши.

3. Устойчивость по Ляпунову. Исследование на устойчивость по первому приближению.


Примеры задач (А.Ф. Филиппов. Сборник задач по ДУ. 5 изд. 1979):
1. 110, 154, 186, 174, 73, 41.

2. 548, 575, 585, 620, 845, 846.

3. 901, 915, 907.
Литература:

1. А.П.Карташов, Б.М. Рождественский. ОДУ и основы вариационного исчисления.

2. М.В. Федорюк, ОДУ.


ИНФОРМАТИКА

1. Введение в программирование.

Язык Паскаль. Краткое введение в Паскаль. Почти формальное определение основных конструкций. Стандартные типы данных и операции над данными. Выражения. Условные операторы и циклы. Структура программы. Ее разделы.

Массивы. Использование массивов в программе.

[4]. Задачи 1.1-1.44, 2.1-2.19, 3.1-3.19, 4.1-4.20, 5.1-5.47, 6.1-6.33,

8.1-8.55, 9.1-9.36.

2.Сортировка и поиск.

Различные алгоритмы сортировки и оценка их быстродействия и

используемой памяти. Пузырьковая сортировка в различных вариантах. Сортировка по индексам. Другие алгоритмы сортировки.

Последовательный и двоичный поиск. Оценка быстродействия. Фиббоначиевый поиск. Слияние упорядоченных массивов.

Быстрые сортировки. Сортировка слияниями.



[11]. Задачи 628-657.

3. Обработка строк.

Строки как массивы букв.

Конкатенация строк. Нахождение вхождения подстроки. Удаление и замена подстроки. Другие операции над строками. Сравнение строк.



[4]. Задачи 10.1-10.36.

4. Процедуры и основы разумной организации разработки программ.

Процедуры и функции. Внутренние и внешние процедуры. Механизм обмена информацией между подпрограммами. Формальные и фактические параметры. Передача информации по имени и по значению.

Способы распределения памяти при работе программы. Локальные и глобальные переменные.

Сравнение механизма параметров и глобальных переменных.

Примеры разработки сложной программы, использующей процедуры.

Программа для решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

[4]. Задачи 11.1-11.67.

5. Типы данных. Списки. Работа с указателями.

Сложные типы данных и их семантика. Записи. Указатели.

Линейные списки. Создание и модификация однонаправленного и двунаправленного списка.

Графы. Различные способы изображения графа в программе с помощью списков.

Матрицы как списки. Различные способы представления матрицы в виде списка. Действия над матрицами, заданными в виде списков. Программа для решения системы линейных уравнений методом Гаусса с использованием матриц, заданных в виде списков.

Строки как списки. Операции над такими строками, их сравнение, конкатенация, нахождение подстроки, удаление и замена подстроки и другие.

Деревья как списки. Различные алгоритмы обхода дерева и их реализация.

Арифметические выражения. Польские записи. Алгоритмы преобразования арифметических выражений в бесскобочные польские записи. Преобразование прямой польской записи в обратную и наоборот. Реализация этих алгоритмов.

Вычисление значений арифметических выражений с помощью различных алгоритмов. Общее представление о проблеме трансляции для языков высокого уровня.



[4]. Задачи 16.1-16.46, 17.1-17.20.
Литература:

1.Д. Грис. Наука программирования. Москва, Мир, 1984.

2.Б.Мейер, К. Бодуэн. Методы программирования. В двух томах. Москва, Мир, 1982.

3. Н.И.Вьюкова, В.А. Галатенко, А.Б.Ходулев. Систематический подход к программированию. Москва, Наука, 1988.

4. В.Н.Пильщиков. Сборник упражнений по языку Паскаль. Москва, Наука, 1989.

5. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ, том 3. Сортировка и поиск. Москва, Мир, 1978.

8. К. Йенсен, Н. Вирт. Паскаль. Москва, ФС, 1982.

9. Н. Вирт. Алгоритмы и структуры данных. Москва, Мир, 1984.

10. В.Г.Абрамов. Введение в язык Паскаль. Москва, Наука, 1988.

11. С.А. Абрамов, Г.Г. Гнездилова, Е.Н. Капустина, М.И. Селюн,

Задачи по программированию. Москва, Наука, 1988.


ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

1. Булевы функции.

1. Булевы функции. Формулы. Реализация функций формулами.
Глава 1. Задачи 2.1-2.31.

2.Эквивалентность формул и свойства элементарных функций.

Принцип двойственности.

Глава 1. Задачи 3.1-3.8.

3. Разложение функций по переменным. Д.н.ф., к.н.ф., полиномы Жегалкина.



Глава 1. Задачи 3.21, 3.24.

4. Полнота, замкнутость, классы функций, сохраняющих ноль и единицу, монотонных, самодвойственных и линейных.



Глава 2. Задачи 1.1-1.11, 2.1, 3.1, 3.8, 5.1

5. Теорема о полноте и ее следствия.



Глава 2. Задачи 6.2, 6.4.
Литература:

Яблонский С.В. Введение в дискретную математику.

Гаврилов Г. П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике.
2. Теория графов.

1. Определение графов.

Степени вершин, подграфы. Типы графов.

Матричные представления. Изоморфизм графов.



Глава 4. Задачи 1.14, 1.2, 1.3.

2. Достижимость и связанность. Нахождение компонент связанности.



Глава 4. Задачи 1.7-1.11.

3.Пути и маршруты. Петли и циклы. Эйлеровы графы. Теорема об Эйлеровых графах.



Глава 4. Задачи 1.6-1.11.

4. Деревья. Критерий для графа быть деревом.



Глава 4. Задачи 4.1-4.3, 4.9, 4.10.
Литература:

1. Кристофидес Н. Теория графов.

2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. Определения и основные свойства



101-№120, №131, 132, 133.

2. Предел функции, 0-символика.

650, №1398-1406.

3. Дифференцирование.

3371-3381, 3383-3388, 3400-3419.

4. Формула Тейлора.



1377-1387, 3593-3601.

5.Несобственные интегралы, зависящие от параметра.



3741-3750, 3793-3796, 3804-3811.

6. Интегрирование.



4107-4110, 4298-4301, 4367, 4368, 4376-4380.

7. Сходимость числовых рядов. 2578-2564.

8. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

2716-2723. 2774.

9. Степенные ряды.



2812-2830, 2851-2668.
Литература:

1. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1977




ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1. Элементы теории погрешностей. №6-14, стр.13-14. №15-20, стр16-17.

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методами: исключения неизвестных, квадратного корня, простой итераций, Зейделя. 1-3 стр.26-27. 24-28 стр.34, №66-73 стр47.

3. Вычисление собственных векторов и собственных значений матриц. №15-31 стр. 72-73.

4. Решение нелинейных уравнений и систем методами: простой итерации, Ньютона, секущей, наискорейшего спуска.

55-60 стр.84, 68-76 стр. 86, 1-9 стр93, 10-11 стр. 96, 30-37 стр. 99.

5. Интерполирование, интерполяционный многочлен Ньютона.



23-26 стр.111-112, 28-35 стр. 115-117.

6. Интерполирование сплайнами. 36-42 стр. 118-119.

7. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, метод Рунге-Кутта и метод сеток.

30-37 стр. 181, 62-65 стр. 190-191

8. Метод сеток для уравнений в частных производных

103 стр. 230-231, 12-15 стр. 237.
Сборник задач по методам вычислений под редакцией Монастырского. Минск, 1977.


ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ


ТЕОРИЯ ИЗ [1], ЗАДАЧИ ИЗ [2]


1. Основные компоненты математической модели операции.

Стратегии: оптимальные, абсолютно-оптимальные. Эффективность стратегий. Условия принятия решений.



[2] Подразделы 3.1, 3.2.

2. Многокритериальные задачи выбора и принятия решений. Парето-оптимальные стратегии, слейтеровские стратегии. Методы построения множества Парето.



[2] Подразделы 3.3, 3.4.

3. Принятие решений в конфликтных ситуациях. Свойства функции



. Необходимое условие максимина. Метод нахождения оптимальных (гарантирующих) стратегий.

[2] Подразделы 3.3.

4. Наилучшие гарантированные результаты. Соотношения между



Седловые точки.

5. Матричные игры, методы их решения.



[2] Подразделы 3.5.

6. Бесконечные антагонистические игры. Методы решения выпуклых вогнутых игр.



[2] Подраздел 3.5.

7. Бескоалиционные игры. Принцип Нэша. Методы решения бесконечных игр.



[2] Подраздел 3.6.

8. Иерархические игры. Принцип Штакелсберга, Гермейера. Методы решения.



[2] Подраздел 3.9.

9. Многошаговые и дифференциальные игры. Принципы Понтрягина, Беллмана. Методы решения.



[2] Подразделы 3.8, 3.10.

10. Принятие решения в условиях статистической неопределенности. Принципы Неймана-Пирсона, Байеса, minmaxa.



[2] Подраздел 3.11.
Литература:

[1] А.Н. Катулев. Теория игр и исследования операций. часть 1, часть 2.



[2] А.Н. Катулев, Г.М. Соломаха. Теория игр и исследования операций. часть 3. ТвГУ-1996г.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА







Дискретное вероятностное пространство. Вероятность события. Свойства вероятности. Теорема сложения.



Классическое определение вероятности. Гипергеометрическое распределение.



Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий.



Последовательность испытаний Бернулли. Полиномиальное распределение.



Теорема Пуассона.



Формула полной вероятности. Формулы Байеса.



Дискретная случайная величина. Примеры дискретных распределений. Независимость случайных величин.



Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.



Коэффициент корреляции и его свойства.



Функция распределения и плотность распределения случайной величины. Примеры непрерывных распределений.



Вычисление математического ожидания в общем случае.



Свертка распределений.



Характеристические функции и их свойства.



Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Интегральная теорема Муавра -Лапласа.



Цепи Маркова.



Предмет и задачи математической статистики. Простой случайный выбор.



Точечное оценивание. Несмещенность, состоятельность, эффективность.



Выборочное среднее и выборочная дисперсия.



Эмпирическая функция распределения.



Достаточные условия состоятельности оценок.



Метод моментов и метод максимального правдоподобия.



Интервальное оценивание. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины с известной дисперсией. Доверительный интервал для вероятности события. Доверительные оценки параметров нормального распределения.



Критерий согласия хи-квадрат Пирсона.



Выбор из двух простых гипотез. Критерий Неймана-Пирсона.



Модель линейной регрессии и метод наименьших квадратов.



Л И Т Е Р А Т У Р А







1.

Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики.

2.

Боровков А.А. Курс теории вероятностей.

3.

Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.

4.

Ивченко Г. И., Медведев Ю.И. Математическая статистика

5.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.

6.

Тутубалин Б.Н. Теория вероятностей.

7.

Солодовников А.С. Теория вероятностей.

С п р а в о ч н и к




8.

Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике.







С б о р н и к и з а д а ч







9.

Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей.

10.

Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей.

11.

Володин Б.Г., Ганин М.П., Динер И.Я., Комаров Л.Б., Свешников А.А., Старобин К.Б. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций.


Задачи

Вероятности независимых событий А, В и С равны 0,2, 0,3 и 0,4, соответственно. После эксперимента оказалось, что только два события произошли. Найти вероятность, что событие А произошло.


Из урны, содержащей шесть белых и четыре красных шаров, потеряно два шара одинакового цвета. С какой вероятностью после этого из урны будет извлечен красный шар ?

Случайные величины x и h независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;a]. Найти плотность распределения 2x -h.


x и h независимы, имеют равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Найти характеристическую функцию случайной величины 3x-h.
Из отрезка [0,1] случайно и независимо выбирают две точки. Какова вероятность того, расстояние между ними будет больше 1/2 ?
Двумерная плотность имеет вид

. Найти Мx.
В тесте 5 вопросов. На каждый вопрос предлагается 3 ответа, из которых один правильный. Какова вероятность допустить не более одной ошибки, если выбирать ответы случайно ?
В лотерее 10 билетов. Два билета с «выигрышем» а рублей, остальные - с «выигрышем» в рублей. Найти математическое ожидание выигрыша, если имеется два билета.
Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром 1. Методом моментов найти оценку параметра а случайной величины (x-а)/a.
Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром 1. Методом моментов найти оценку параметра а случайной величины (x-а)/a.
Предложить состоятельную оценку параметра q для равномерного распределения на отрезке [q,q+4].
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
1. Задачи и методы безусловной оптимизации. Необходимые и достаточные условия минимума. Численные методы (градиентный, сопряженных градиентов, Ньютона, покоординатного спуска).

[1] 2.9 – 2.17

[2] 16.126, 16.130, 16.151, 16.180 (для 16.151)

[3] самостоятельно

2. Задачи и методы условной оптимизации.

Необходимые и достаточные условия для задач с ограничениями различного типа. Численные методы (проекции градиента, линеаризации, штрафных функций).

[1] 3.1 – 3.5

[2] 16.304, 16.306, 16.308, 16.310, 16.314, 16.318, 16.323, 16.325, 16.332, 16.333, 16.334

[3] самостоятельно

3. Линейное программирование.

Основные определения (опорная точка, базис, вырожденность). Основные теоремы сиплекс-метода. Теоремы двойственности и их использование.



[4] выбрать самостоятельно
Литература (задачники):

  1. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., Наука, 1991.

  2. Сборник задач по математике для втузов. Ч.4. Под. ред. А.В.Ефимова. М., Наука, 1990.

  3. Алексеев М.В. и др. Сборник задач по оптимизации. М., Наука, 1984.

  4. Заславский Ю.Л. Сборник задач по линейному программированию. М., Наука, 1969.


ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ АЛГЕБРЫ
I. Отношения

1. Отношения. Бинарные отношения. Операции над отношениями объединение, пересечение, дополнение, произведение).

2. Свойства отношений. Рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность.

3. Отношение порядка.

4. Функциональные отношения.

5. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Разбиения.


II. Группы

6. Алгебраическая операция. Универсальные алгебры.

7. Группоид, полугруппа, моноид.

8. Группа. Определение. Простейшие свойства. Примеры.

9. Подгруппа, определение и необходимые и достаточные условия. Пересечение

подгрупп.

10. Гомоморфизмы групп. Примеры. Свойства гомоморфных отображений. Ядро и образ

гомоморфизма. Изоморфизм.

11. Конечные группы. Симметрическая группа. Теорема Кэли.

12. Циклические группы. Порядок элемента.

13. Подгруппа порожденная множеством.

14. Смежные классы. Определение, свойства, примеры.

15. Порядок группы, индекс подгруппы, теорема Лагранжа.

16. Нормальные делители. Определение, необходимые и достаточные условия.

17. Факторгруппа. Определение, примеры.

18. Теорема о гомоморфизмах групп.


III. Кольца

19. Кольцо. Определение, простейшие свойства. Примеры. Подкольцо.

20. Идеалы. Примеры. Свойства.

21. Гомоморфизмы колец. Определения, примеры. Ядро гомоморфизма и его свойства.

22. Факторкольцо. Теорема о гомоморфизмах колец.

23. Кольцо вычетов по модулю n.

24. Делители нуля. Область целостности. Поля. Тела.
IV. Модули

25. Определение модуля. Простейшие свойства. Примеры.

26. Подмодули. Прямая сумма. Проекции.

27. Гомоморфизмы R-модулей. Фактор-модуль. Примеры.

28. Аннулятор модуля и его свойства.
V. Действие группы на множестве

29. Определение действия группы на множестве. Примеры.

30. Орбита элемента. Стабилизатор и его свойства.

31. Теорема о числе элементов орбиты.


VI. Понятие категории

32. Объекты, морфизмы, функторы. Примеры категорий.


Литература:

Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

Кострикин А.И. Введение в алгебру: Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1962.

Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

Дополнительная литература:

Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

Общая алгебра. Т.1/ Под общ. ред. Л.А. Скорнякова/ М.: Наука, 1990.

Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976.



\Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры, М., 1985. (Итоги науки и техн.

ВИНИТИ АН СССР Сер. "Современные проблемы математики. Фундаментальные

направления". Т. 11.).

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

Сборники задач:

Сборник задач по алгебре/ Под ред. А.И.Кострикина. М.: Наука, 1995.

Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. М.: Наука,

1967.


Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974.
Задачи

Какие отображения являются гомоморфизмами кольца действительных чисел:

а) , б) , в) ?

Какие отображения являются гомоморфизмами кольца действительных чисел:

а) , б) , в) ?

Верно ли, что дополнение к отношению порядка – отношение порядка?

Является ли отношение на отношением порядка?

Доказать, что порядки сопряженных элементов совпадают.

Найти все циклические подгруппы, не имеющие собственных подгрупп.

Является ли аддитивное множество бесконечно дифференцируемых функций модулем кручения над кольцом ?

Является ли аддитивное множество многочленов модулем кручения над кольцом ?

Является ли множество идеалом в кольце многочленов?

Является ли множество идеалом в кольце многочленов?

Пусть - изоморфизм аддитивной циклической группы на мультипликативное множество . Доказать, что - циклическая группа.

Пусть - изоморфизм мультипликативной циклической группы на аддитивное множество . Доказать, что - циклическая группа.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕКОЙ ФИЗИКИ
1. Классификация уравнений второго порядка с двумя неизвестными переменными, линейных по старшим производным. Приведение к каноническому виду.

2. Постановки краевых задач, задач Коши уравнений параболического и гиперболического типов (теплопроводности стержня, движения струны).

3. Метод разделения переменных. Решение задач с однородными и неоднородными граничными условиями, постановка и решение задачи Штурма-Лиувилля.
Примеры задач (Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по УМФ. 1977 г.):

[1] 68, 76, 84

[2] 115, 117

[3] 479, 482, 485
Литература:

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.



скачать файл


Смотрите также: