misle.ru страница 1
скачать файл

ISBN 5-89838-272-0 Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 2(14)

УДК 538.915

Е.А. Кульченков, А.А. Сидоров



РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛОТНОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА ПО ДАННЫМ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В КРИСТАЛЛАХ СО СТРУКТУРОЙ АЛМАЗА

Разработана методика расчета электронной плотности и потенциала в кристаллической решетке со структурой алмаза по экспериментальным значениям интегральной интенсивности рентгеновских дифракционных максимумов. Построены карты распределения электронной плотности в кремнии в кристаллографических плоскостях (100), (110), (111), на которых видны «электронные мостики».


Изучение процессов рассеяния рентгеновских лучей веществом дает обширную информацию о строении и свойствах вещества. Исследование интенсивности рассеянного излучения при упругом (когерентном) рассеянии рентгеновских лучей является наиболее прямым методом нахождения функций распределения электронной плотности и потенциала в кристаллической решетке.

Распределение электронной плотности задается рядом Фурье:



, (1)

где Fhkl — измеренные экспериментально величины структурных амплитуд; вектор обратной решетки, абсолютная величина которого задается соотношением ;


– радиус-вектор точки с координатами (x,y,z), для которой определяется электронная плотность; V – объем элементарной ячейки.

Структурная амплитуда определяется по интегральной интенсивности дифракционных максимумов Ihkl из соотношения



,

где I0 – интенсивность первичного рентгеновского пучка, падающего на исследуемый образец [2]; А* - произведение всех коэффициентов, входящих в выражение для интенсивности брегговского рефлекса [1]; – структурный коэффициент, n, n, n – координаты атомов в элементарной ячейке; f – атомно-рассеивающий фактор.

Как показывает практика, ряд (1) оказывается слабо сходящимся, и его вычисление для известных значений структурных амплитуд может привести к непредсказуемым погрешностям. С другой стороны, распределение плотности заряда как во всем кристалле, так и в его элементарной ячейке может быть описано уравнением Пуассона:

, (2)

где - электростатический потенциал.

Представим рядом Фурье вида (1):

. (3)

Подставляя ряд (3) в уравнение (2) и сравнивая с рядом (1), приходим к соотношению, выражающему через структурные амплитуды Fhkl:



. (4)

С учетом соотношения (4) ряд (3) принимает вид



. (5)

Полученный ряд (5) сходится существенно быстрее, чем ряд (1).

Представим ряд (5) в интегральной форме. Для этого воспользуемся функцией Эвальда:

.

Тогда выражение для потенциала (x,y,z) = принимает вид



, (6)

где f – функция, достаточно хорошо сглаживающая значения атомных амплитуд в точках = .

Правая часть равенства (6) представляет собой преобразование Фурье произведения двух функций: f/ и Z. Применяя к выражению (6) теорему о свертке функций, получим

, (7)

где функции и g находятся Фурье-преобразованием функций f/ и Z.

Чтобы использовать выражение (7) для непосредственных расчетов φ(x,у,z), необходимо знание аналитического вида функции f, которая из опыта известна только в дискретных точках, где она имеет значение f. Для нахождения f воспользуемся методом аппроксимации. В качестве аппроксимирующей функции удобно взять следующее выражение:

, (8)

где zi – число электронов на i-й оболочке в атоме;



.

Для функции f, заданной выражением (8), может быть найдена функция , входящая в выражение для φ(х,у,z). Эта функция находится Фурье-преобразованием выражения f/. В случае кубических решеток Фурье-преобразование может быть сведено к синус-преобразованию, тогда для получим следующее выражение:



.

Функция g обычно называется решеточной и находится Фурье-преобразованием Z. Соответствующие вычисления для кристаллической решетки со структурой алмаза, имеющего в элементарной ячейке 8 атомов с координатами n, n, n, принимающими значения (0,0,0), (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2), (1/4,1/4,1/4), (3/4,3/4,1/4), (3/4,1/4,3/4), (1/4,3/4,3/4), приводят к следующему выражению:









,

где а — постоянная решетки; m1, m2, m3 — целые числа (начиная с нуля); δ(x-m1a),


δ(y-m2a), δ(z-m3a) — δ-функции.

Выполнив необходимые вычисления в выражении (7), получим следующее выражение для функции распределения потенциала:





.

Здесь через A1, А2, А3, А4, А5, А6, A7, А8 обозначены выражения:



,

,

,

,

, (9)

,

,

.

Величина электростатического потенциала, созданного электронами, получается умножением φ на заряд электрона -е. Потенциал ядер в любой точке ячейки V находится суммированием кулоновских потенциалов отдельных ядер и имеет вид

,

где Aj задаются выражениями (9).

Полный потенциал решетки находится суммированием и V, т. е.

.

Описанный метод был использован для нахождения электронной плотности и потенциала в кристаллической решетке кремния. Значения атомно-рассеивающего фактора были получены по экспериментально определенным на автоматизированном рентгеновском дифрактометре ДРОН-3 значениям интегральной интенсивности 15 дифракционных максимумов и первичного пучка [2, 3].

Параметры аппроксимации αi находились методом градиентного спуска по специально составленной программе на ЭВМ.

Таким образом, кривая атомно-рассеивающего фактора кремния (рис. 1) аппроксимируется выражением



,

г


Рис. 1. Атомно-рассеивающий фактор кремния: ○ – экспериментальные данные [3],  – экспериментальные данные [4], – кривая, построенная аналитически




де 1= 0,1533; 2= 0,15199; 3=0,7181.

Используя формулы (9), а также значения zi и найденные значения αi2, для потенциала кристаллической решетки получаем следующее выражение:



.

Аналогичные вычисления для электронной плотности дают



. (10)

Распределение электронной плотности вычислялось по формуле (10) с помощью ЭВМ по написанной нами программе.

Суммирование проводилось по m1, m2, m3 до значений m = ±2, поскольку члены с


m = ±3 дают незначительный вклад в сумму.

На рис. 2 показано распределение электронной плотности по кристаллографическим направлениям [100], [110] и [111].

Для плоскостей (100), (110) и (111) построены карты распределения электронной плотности в кремнии (рис. 3), на которых отчетливо видны «электронные мостики» между соседними атомами (их центры выделены черными точками).


Рис. 2. Распределение электронной плотности в кристалле кремния вдоль направлений:


а – [100]; б – [110]; в – [111]

Рис. 3. Карты распределения электронной плотности в кристалле кремния:


а – плоскость (100), б – плоскость (110), в – плоскость (111).


Электронная плотность ρ для данных направлений нигде в нуль не обращается.

Наибольшее значение ρ между атомами кремния наблюдается в направлении [111], поэтому связь в этом направлении наиболее сильная.

Описанный метод нахождения распределения электронной плотности в кристалле может оказаться полезным для понимания природы отрицательного коэффициента теплового расширения с точки зрения электронной структуры вещества.
С
Ǻ
ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Вейс, В. Физика твердого тела/ В. Вейс. – М.: Атомиздат, 1968. - 456 с.

  2. Сидоров, А.А. Прецизионные измерения структурного фактора/ А.А. Сидоров, Е.А. Кульченков, С.Е. Малофеев// Актуальные проблемы физики твердого тела. – Минск: Изд. центр БГУ,
    2003. – С. 271-272.

  3. Кульченков, Е.А. Структурный множитель и атомно-рассеивающий фактор кремния: дис. магистра/ Е.А. Кульченков. – Брянск, 2001. – 76 с.

  4. Gottlicher, S. Rontgenographische Bestimmung der Elektronenverteilung in Kristallen/ S. Gottliher, E. Wolffel// Z. Electrochem. – 1959. - № 8. - С. 891-901.

Материал поступил в редколлегию 26.04.07.


Сидоров Александр Алексеевич, к.ф-м.н, доцент, заведующий кафедрой теоретической физики БГУ.

Тел.: рабочий 66-61-53,

домашний 56-95-94.

Кульченков Евгений Александрович, аспирант кафедры теоретической физики БГУ, старший преподаватель кафедры общей физики БГТУ.

Тел.: 8-920-605-57-28

Е.А. Кульченков


А.А. Сидоров




скачать файл


Смотрите также: