misle.ru страница 1
скачать файл


МЕТОД НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ РАСЧЁТА ПАРАМЕТРОВ РАВНОВЕСИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ С КРУЧЕНИЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗЦА
Привалова В.В.

Екатеринбург, Россия


В данной работе рассматривалась стержневая система, осуществляющая растяжение с кручением специального образца, выполненного из разупрочняющегося материала. В систему входят два упругих круглых стержня, присоединённых к разным концам образца. К свободному концу одного стержня (реализующего растяжение) прикладывается растягивающая сила, или его точкам задаётся равное перемещение. К свободному концу второго стержня (реализующего кручение) прикладывается крутящий момент или задаётся угол закручивания. Таким образом, возможно как жёсткое (кинематическое) нагружение системы, так и мягкое (силовое), а также смешанный тип нагружения.

Свойства материала образца описываются невыпуклым потенциалом напряжений при его активном деформировании (невыпуклость обусловлена разупрочнением). Отсюда система при заданной нагрузке может иметь несколько положений равновесия.

Сначала исследуется случай жёсткого нагружения системы. Записывается её потенциальная функция, зависящая от параметров состояния (деформации растяжения и сдвига образца) и от параметров управления (перемещение и угол закручивания свободных концов соответствующих упругих стержней). Записываются уравнения равновесия (равенство нулю первых производных потенциальной функции по параметрам состояния), представляющие собой отображение пространства состояний в пространство управлений. Очевидно, что обратное отображение не всегда однозначно. Затем в пространстве состояний определяются линии, в точках которых матрица Гессе потенциальной функции вырождена. Эти линии разделяют пространство состояний на три непересекающиеся области. Отображения этих линий в пространство управлений образуют сепаратрису потенциальной функции. Сепаратриса делит пространство управлений на три области: в первой и третьей точки пространства управлений имеют один прообраз в пространстве состояний (решение уравнений равновесия единственное), во второй области, ограниченной сепаратрисой, три прообраза (уравнения равновесия имеют три решения).

Определение решений осуществляется в три этапа. На первом этапе пространство состояний разбивается сеткой узлов с достаточно малым шагом. Отображение каждого узла попадает в одну из областей пространства управлений, ограниченных сепаратрисой. На втором этапе для заданных управлений ищутся узлы, отображение которых наиболее близко к данному управлению. Эти узлы берутся в качестве начальных приближений метода Ньютона-Канторовича. Если уравнения равновесия имеют одно решение, то и начальное приближение одно. Когда уравнения равновесия имеют три решения, то соответственно ищется три начальных приближения, наконец, реализуется итерационная схема метода Ньютона Канторовича. Таким образом, для каждого заданного управления вычисляются все возможные положения равновесия системы. Приведённый выше подход применяется и для вычисления решений уравнений равновесия, полученных для других типов нагружения системы.



Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-08-00186).
скачать файл


Смотрите также: