misle.ru страница 1
скачать файл

  1. Часть 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения

  1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

  2. Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения.

  3. Общая теория линейных уравнений и систем (область существования решения, фундаментальная матрица Коши, формула Лиувилля–Остроградского, метод вариации постоянных и др.).

  4. Автономные системы уравнений. Положения равновесия. Предельные циклы.

  5. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия по первому приближению.

  6. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства), приложение к задачам быстродействия для линейных систем.

  7. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи.

  8. Задача Штурма–Лиувилля для уравнения второго порядка. Свойства собственных функций.

  9. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. Задача Коши. Теория Гамильтона–Якоби.


Уравнения с частными производными

  1. Системы уравнений с частными производными типа Ковалевской. Аналитические решения. Теорема Коши–Ковалевской.

  2. Классификация линейных уравнений второго порядка на плоскости. Характеристики.

  3. Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и методы их решения. Свойства решений (характеристический конус, конечность скорости распространения волн, характер переднего и заднего фронтов волны и др.)

  4. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.)

  5. Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость распространения, функция источника и др.)

  6. Обобщенные функции. Свертка обобщенных функций, преобразование Фурье.

  7. Пространства Соболева Wpm . Теоремы вложения, следы функций из Wpm на границе области.

  8. Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка. Задачи на собственные функции и собственные значения.

Часть 2

Элементы теории функций и функционального анализа

  1. Мера Лебега. Измеримые множества в конечномерных пространствах. Измеримые функции. Интеграл Лебега.

  2. Функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса. Абсолютно непрерывные функции.

  3. Метрические и нормированные пространства. Полнота, сепарабельность, компактность. Принцип сжимающих отображений.

  4. Гильбертовы пространства. Ортогональность. Теорема о разложении в прямую сумму ортогональных подпространств. Изоморфизм бесконечномерных гильбертовых пространств.

  5. Пространство линейных ограниченных операторов. Сильная, слабая и равномерная сходимость. Теорема Банаха–Штейнхауса.

  6. Пространство линейных ограниченных функционалов. Общий вид функционалов в гильбертовых и конечномерных пространствах. Теорема Банаха–Хана.

  7. Алгебра линейных ограниченных операторов. Обратные операторы. Теорема Неймана. Теорема Банаха об обратном операторе. Спектр и резольвента.

  8. Идеал вполне непрерывных операторов в пространстве линейных ограниченных операторов. Замкнутость, свойства спектра. Теоремы Фредгольма.

  9. Сопряженные и самосопряженные операторы в гильбертовых и нормированных пространствах.

Функционально-дифференциальные уравнения

  1. Понятие о функционально-дифференциальных уравнениях (ФДУ). Представители класса ФДУ. Различные подходы к определению решения.

  2. Линейное ФДУ. Главная часть линейного оператора. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ФДУ.

  3. Оператор внутренней суперпозиции в пространствах суммируемых функций и его свойства.

  4. Постановка краевых задач для ФДУ. Функция и оператор Грина.

  5. Линейные вольтерровы операторы. ФДУ с последействием. Оператор Коши, интегральное представление решения.

  6. Устойчивость ФДУ с последействием. Теоремы типа Боля–Перрона. W-метод в теории устойчивости.

  7. Нелинейные функционально-дифференциальные уравнения. Локальная разрешимость, продолжаемость решений, связность множества решений. Априорные оценки.




  1. Нелинейные краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Исследование разрешимости с использованием априорных оценок.
скачать файл


Смотрите также: